【二倍角公式推导】在三角函数的学习中，二倍角公式是重要的内容之一。它可以帮助我们快速计算角度为原角两倍时的三角函数值，常用于简化计算、解方程和证明恒等式。本文将对常见的二倍角公式进行推导，并以总结加表格的形式呈现。
一、二倍角公式的推导
二倍角公式源于基本的三角恒等式——和角公式。通过将两个相同的角度相加，可以得到二倍角的表达式。
1. 正弦函数的二倍角公式：
根据和角公式：
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
令 $ A = B = \theta $，则有：
$$
\sin(2\theta) = \sin(\theta + \theta) = \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta = 2 \sin \theta \cos \theta
$$
因此，得到：
$$
\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta
$$
2. 余弦函数的二倍角公式：
同样使用和角公式：
$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$
令 $ A = B = \theta $，则有：
$$
\cos(2\theta) = \cos(\theta + \theta) = \cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
$$
也可以写成其他形式：
- $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$
- $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$
3. 正切函数的二倍角公式：
利用正切的和角公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
$$
令 $ A = B = \theta $，则有：
$$
\tan(2\theta) = \frac{\tan \theta + \tan \theta}{1 - \tan \theta \cdot \tan \theta} = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
$$
二、二倍角公式总结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦二倍角公式 | $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ | 由和角公式推导 |
| 余弦二倍角公式 | $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ | 可转化为其他形式 |
| 余弦二倍角公式（变形1） | $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$ | 常用于降次 |
| 余弦二倍角公式（变形2） | $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ | 也常用于降次 |
| 正切二倍角公式 | $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ | 由正切和角公式推导 |
三、应用举例
例如，已知 $\sin \theta = \frac{1}{2}$，求 $\sin(2\theta)$：
- 首先，$\theta = 30^\circ$ 或 $ \frac{\pi}{6} $
- 则 $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
四、总结
二倍角公式是三角函数中非常实用的工具，其推导过程基于和角公式，逻辑清晰且易于理解。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对三角函数性质的理解。建议在学习过程中多做练习，灵活运用各种形式的二倍角公式。