【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值或中心位置，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对常见分布的期望与方差公式的总结。
一、期望（Expectation）
期望（Expected Value）是随机变量在大量重复实验中取值的平均结果。数学上，对于离散型随机变量 $ X $，其期望定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
对于连续型随机变量 $ X $，期望定义为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ f(x) $ 是概率密度函数。
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的差异程度，即数据的离散程度。方差的计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差公式汇总表
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ (x ≥ 0) | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 几何分布 $ G(p) $ | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
四、总结
期望与方差是统计分析中的基础工具，广泛应用于金融、工程、科学等领域。了解不同分布的期望与方差有助于我们更好地理解数据的特性，并为后续的概率建模和数据分析提供依据。
通过掌握这些公式，可以更有效地进行风险评估、预测建模以及统计推断等工作。在实际应用中，合理选择模型并正确计算期望与方差，是提高分析准确性的关键步骤。