【行列式的性质有什么】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵的求解、方程组的分析以及几何变换的研究中。了解行列式的性质有助于更好地掌握其应用方法和计算技巧。以下是对行列式主要性质的总结。
行列式的性质总结
| 序号 | 性质描述 | 说明 |
| 1 | 行列式与转置矩阵的行列式相等 | 即 $ \det(A^T) = \det(A) $，无论矩阵如何转置，行列式的值不变。 |
| 2 | 交换两行（列），行列式变号 | 若交换矩阵的任意两行或两列，则行列式的符号改变。 |
| 3 | 某一行（列）乘以一个常数，行列式乘以该常数 | 若将某一行（列）的所有元素乘以一个常数 $ k $，则行列式也乘以 $ k $。 |
| 4 | 行列式中某一行（列）为零，行列式为零 | 如果矩阵中存在一行或一列全为零，则行列式的值为零。 |
| 5 | 两行（列）完全相同，行列式为零 | 当矩阵中有两行或两列完全相同时，行列式的值为零。 |
| 6 | 行列式可以按行或列展开 | 可以使用余子式展开法，将行列式分解为更小的行列式进行计算。 |
| 7 | 行列式与矩阵的乘积关系 | 对于两个同阶方阵 $ A $ 和 $ B $，有 $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $。 |
| 8 | 行列式在初等变换下的变化 | 初等行变换会影响行列式的值，如交换行变号，倍乘行乘以系数，加减行不改变行列式值。 |
| 9 | 行列式为零当且仅当矩阵不可逆 | 矩阵 $ A $ 可逆的充要条件是 $ \det(A) \neq 0 $。 |
| 10 | 行列式与特征值的关系 | 方阵的行列式等于其所有特征值的乘积。 |
小结
行列式的性质不仅帮助我们理解其数学本质，也在实际计算中起到了关键作用。通过掌握这些性质，可以更高效地进行行列式的计算与应用。在学习过程中，建议结合具体例子进行练习，以加深对这些性质的理解和运用能力。