【特征多项式怎么展开】在数学中，尤其是线性代数领域，特征多项式是一个非常重要的概念。它用于研究矩阵的性质，例如特征值、行列式和迹等。本文将简要总结特征多项式的定义及其展开方法，并通过表格形式清晰展示相关步骤与公式。
一、特征多项式的定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其特征多项式定义为：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ \lambda $ 是一个标量（变量），
- $ I $ 是单位矩阵，
- $ \det $ 表示行列式。
特征多项式的根即为矩阵 $ A $ 的特征值。
二、特征多项式的展开方法
特征多项式的展开本质上是对矩阵 $ A - \lambda I $ 的行列式进行计算。具体步骤如下：
1. 构造矩阵 $ A - \lambda I $：将原矩阵 $ A $ 中的每个对角线元素减去 $ \lambda $。
2. 计算行列式：使用行列式的展开方法（如余子式展开或拉普拉斯展开）进行计算。
3. 整理结果：将得到的表达式按降幂排列，形成标准的多项式形式。
三、特征多项式的展开示例（以 2×2 矩阵为例）
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $，则：
$$
A - \lambda I = \begin{bmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{bmatrix}
$$
其行列式为：
$$
\det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc
$$
展开后得：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc)
$$
四、特征多项式展开总结表
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 构造矩阵 | 将矩阵 $ A $ 的对角线元素减去 $ \lambda $，得到 $ A - \lambda I $ |
| 2. 计算行列式 | 使用行列式公式或展开法求出 $ \det(A - \lambda I) $ |
| 3. 展开表达式 | 对行列式结果进行乘法展开并合并同类项 |
| 4. 排列多项式 | 按 $ \lambda $ 的降幂排列，得到标准形式 |
五、不同阶数矩阵的特征多项式形式
| 矩阵阶数 | 特征多项式一般形式 |
| 2×2 | $ \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) $ |
| 3×3 | $ \lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + \text{tr}(\text{adj}(A))\lambda - \det(A) $ |
| n×n | $ \lambda^n - \text{tr}(A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A) $ |
六、注意事项
- 特征多项式是关于 $ \lambda $ 的多项式，次数等于矩阵的阶数；
- 若矩阵有重复特征值，则特征多项式会出现重根；
- 实际计算时，可以借助计算器或软件（如 MATLAB、Mathematica）辅助计算行列式。
通过以上内容，我们可以清晰地理解“特征多项式怎么展开”的过程。掌握这一方法有助于进一步分析矩阵的性质与应用。