【常用傅里叶变换公式表】傅里叶变换是信号处理、物理学和工程学中非常重要的数学工具，用于将时域信号转换为频域表示。通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频率成分，从而更好地理解其特性。本文总结了一些常用的傅里叶变换公式，便于查阅和应用。
一、傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换的基本形式如下：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$
其中，$ f(t) $ 是时域函数，$ F(\omega) $ 是对应的频域函数，$ j $ 是虚数单位，$ \omega $ 是角频率。
在实际应用中，傅里叶变换有多种形式，如连续傅里叶变换（CFT）、离散傅里叶变换（DFT）等，但本文主要介绍连续情况下的常见函数及其傅里叶变换对。
二、常用傅里叶变换公式表
| 序号 | 时域函数 $ f(t) $ | 频域函数 $ F(\omega) $ | 备注 | ||
| 1 | $ \delta(t) $ | $ 1 $ | 冲激函数 | ||
| 2 | $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ | 常数函数 | ||
| 3 | $ e^{j\omega_0 t} $ | $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ | 复指数函数 | ||
| 4 | $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ | 余弦函数 | ||
| 5 | $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ | 正弦函数 | ||
| 6 | $ u(t) $ | $ \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega) $ | 阶跃函数 | ||
| 7 | $ e^{-at}u(t) $ (a > 0) | $ \frac{1}{a + j\omega} $ | 指数衰减函数 | ||
| 8 | $ e^{-a | t | } $ (a > 0) | $ \frac{2a}{a^2 + \omega^2} $ | 双边指数函数 |
| 9 | $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left( \frac{\omega}{2} \right) $ | 矩形脉冲函数 | ||
| 10 | $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}\left( \frac{\omega}{2} \right) $ | 矩形函数的傅里叶变换 |
> 说明：
> - $ \text{rect}(t) $ 表示在区间 $[-0.5, 0.5]$ 内为 1，其余为 0 的矩形函数。
> - $ \text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} $
> - $ u(t) $ 是单位阶跃函数，定义为：$ u(t) = 0 $ 当 $ t < 0 $，$ u(t) = 1 $ 当 $ t \geq 0 $
三、傅里叶变换的性质
除了上述具体函数的变换对，傅里叶变换还具有以下一些重要性质，有助于更灵活地应用：
- 线性性：$ a f_1(t) + b f_2(t) \leftrightarrow a F_1(\omega) + b F_2(\omega) $
- 时移性：$ f(t - t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0} F(\omega) $
- 频移性：$ e^{j\omega_0 t} f(t) \leftrightarrow F(\omega - \omega_0) $
- 对称性：若 $ f(t) $ 是实函数，则 $ F(-\omega) = F^(\omega) $
- 卷积定理：$ f(t) g(t) \leftrightarrow F(\omega) G(\omega) $
四、结语
傅里叶变换是连接时域与频域的重要桥梁，掌握常见的变换对和相关性质对于理解和分析信号至关重要。本文整理了部分常用的傅里叶变换公式，旨在为学习者和研究者提供参考。在实际应用中，还需结合具体问题选择合适的变换方法，并注意函数的收敛性和定义域。