【三角函数半角公式和倍角公式】在三角函数的学习中，半角公式与倍角公式是重要的内容之一，它们在解题、化简表达式以及解决实际问题中具有广泛的应用。掌握这些公式不仅能提高计算效率，还能帮助我们更深入地理解三角函数的性质。
一、倍角公式
倍角公式用于将一个角的三角函数表示为该角两倍的三角函数形式。常见的倍角公式包括：
- 正弦的倍角公式：
$$
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
$$
- 余弦的倍角公式（有三种常见形式）：
$$
\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta \\
\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 \\
\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta
$$
- 正切的倍角公式：
$$
\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
$$
二、半角公式
半角公式用于将一个角的三角函数表示为该角一半的三角函数形式。常用的半角公式如下：
- 正弦的半角公式：
$$
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}
$$
- 余弦的半角公式：
$$
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
$$
- 正切的半角公式（有多种表达方式）：
$$
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}
$$
注意：符号的选择取决于角所在的象限。
三、总结表格
| 公式类型 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦倍角公式 | $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ | 将角度加倍后的正弦值表示为原角的正弦与余弦的乘积 |
| 余弦倍角公式（1） | $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ | 常用形式之一 |
| 余弦倍角公式（2） | $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ | 可用于求余弦平方项 |
| 余弦倍角公式（3） | $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ | 可用于求正弦平方项 |
| 正切倍角公式 | $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 用于计算角度加倍后的正切值 |
| 正弦半角公式 | $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 表示角度减半后的正弦值 |
| 余弦半角公式 | $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 表示角度减半后的余弦值 |
| 正切半角公式（1） | $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ | 适用于已知正弦和余弦的情况 |
| 正切半角公式（2） | $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 适用于已知正弦和余弦的情况 |
四、使用建议
在实际应用中，可以根据题目给出的信息选择合适的公式。例如，在已知某个角的正弦或余弦时，可以利用半角公式来求其一半的角度；而在需要简化表达式时，倍角公式则能有效降低运算复杂度。
通过反复练习和实际应用，能够更好地掌握这些公式，并灵活运用到各类数学问题中。