问幂函数的收敛半径怎么求

【幂函数的收敛半径怎么求】在数学分析中，幂级数是一个非常重要的工具，广泛应用于函数展开、近似计算以及微分方程求解等领域。对于一个幂级数，其收敛性是研究其性质的基础，而收敛半径则是判断该幂级数在哪些点上收敛的关键参数。

一、什么是幂函数的收敛半径？

幂函数的一般形式为：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n

$$

其中 $ a_n $ 是系数，$ x_0 $ 是中心点。这个级数在某个区间内收敛，这个区间的半径称为收敛半径，记作 $ R $。

当 $ x - x_0 < R $ 时，级数绝对收敛；当 $ x - x_0 > R $ 时，级数发散；当 $ x - x_0 = R $ 时，需进一步判断端点处的收敛性。

二、如何求幂函数的收敛半径？

常用的两种方法如下：

三、具体步骤说明

1. 使用比值法

- 计算极限 $ \lim_{n \to \infty} \left \frac{a_n}{a_{n+1}} \right $

- 若极限存在，则该极限即为收敛半径 $ R $

2. 使用根值法

- 计算极限 $ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $

- 收敛半径为 $ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}} $

> 注意：若极限为0，则 $ R = +\infty $；若极限为 $ +\infty $，则 $ R = 0 $

四、举例说明

假设幂级数为：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n!}

$$

这里 $ a_n = \frac{1}{n!} $，使用比值法：

$$

R = \lim_{n \to \infty} \left \frac{a_n}{a_{n+1}} \right = \lim_{n \to \infty} \left \frac{n!}{(n+1)!} \right = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0

$$

但实际此级数的收敛半径应为 $ R = +\infty $，因为指数函数在其定义域内处处收敛。

此时使用根值法更准确：

$$

\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left \frac{1}{n!} \right} = 0 \Rightarrow R = \frac{1}{0} = +\infty

$$

五、总结

通过上述方法，可以较为系统地判断一个幂级数的收敛范围，从而为后续的函数展开和分析提供依据。在实际应用中，根据系数的特点选择合适的判定方法更为高效。