【超几何分布的数学期望和方差的算法】在概率论与数理统计中，超几何分布是一个重要的离散概率分布，常用于描述在不放回抽样中成功事件发生的次数。它适用于有限总体中的抽样问题，例如从一批产品中抽取样本进行检验等场景。
超几何分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}}{\binom{N}{n}}
$$
其中：
- $ N $ 是总体数量；
- $ K $ 是总体中具有某种特征的个体数量；
- $ n $ 是抽取的样本数量；
- $ k $ 是样本中具有该特征的个体数量。
一、数学期望（均值）
超几何分布的数学期望表示在一次抽样中，样本中具有特定特征的个体数量的平均值。其计算公式如下：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
这个公式表明，期望值与样本容量 $ n $ 和总体中具有该特征的比例 $ \frac{K}{N} $ 成正比。
二、方差
超几何分布的方差反映了样本中具有该特征的个体数量的波动程度。其计算公式为：
$$
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
其中，$ \frac{N - n}{N - 1} $ 是有限总体校正因子，用于调整不放回抽样带来的影响。
三、总结与对比
以下是对超几何分布的数学期望和方差的总结表格：
| 指标 | 公式 | 说明 |
| 数学期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示样本中具有该特征的个体数量的平均值 |
| 方差 | $ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 反映样本中具有该特征的个体数量的波动性，考虑了不放回抽样的影响 |
四、实际应用建议
在实际应用中，当总体较大时，超几何分布可以近似为二项分布，此时方差公式简化为：
$$
Var(X) \approx n \cdot p \cdot (1 - p)
$$
其中 $ p = \frac{K}{N} $。
但若总体较小或抽样比例较高（如 $ n/N > 0.1 $），则必须使用超几何分布的精确公式，以确保结果的准确性。
通过上述分析可以看出，超几何分布的数学期望和方差在理论和实践中都具有重要意义，特别是在有限总体的抽样调查中。掌握这些计算方法有助于更准确地理解和预测随机事件的发生规律。