问n阶方阵的性质公式

【n阶方阵的性质公式】在矩阵理论中，n阶方阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。n阶方阵是指由n行n列元素组成的方阵，其具有许多重要的性质和运算规律。本文将总结n阶方阵的一些基本性质及其相关公式，并以表格形式进行展示。

一、n阶方阵的基本性质

1. 行列式（Determinant）

n阶方阵A的行列式是一个标量值，记为A或det(A)，用于判断矩阵是否可逆。

2. 逆矩阵（Inverse Matrix）

若n阶方阵A的行列式不为零，则存在逆矩阵A⁻¹，满足AA⁻¹ = I。

3. 特征值与特征向量

对于n阶方阵A，若存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ称为A的特征值，v为对应的特征向量。

4. 迹（Trace）

矩阵A的迹是其主对角线元素之和，记为tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ。

5. 秩（Rank）

矩阵A的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数。

6. 对称性与反对称性

若A = Aᵀ，则A为对称矩阵；若A = -Aᵀ，则A为反对称矩阵。

7. 正交矩阵

若AᵀA = I，则A为正交矩阵，其行列式为±1。

8. 幂等矩阵

若A² = A，则A为幂等矩阵。

9. 奇异矩阵与非奇异矩阵

若A = 0，则A为奇异矩阵；否则为非奇异矩阵。

10. 伴随矩阵（Adjugate Matrix）

A的伴随矩阵adj(A)是其余子矩阵的转置，且满足A·adj(A) = AI。

二、常用公式总结

三、小结

n阶方阵作为线性代数的核心对象之一，其性质丰富且应用广泛。掌握其基本性质及相关公式有助于更深入地理解矩阵的结构与功能。无论是从理论分析还是实际应用角度出发，熟悉这些公式和性质都是非常必要的。

通过上述总结和表格展示，可以更清晰地把握n阶方阵的关键特性与计算方式，为后续的学习和研究打下坚实基础。