【常用不定积分公式】在数学中，不定积分是微分运算的逆过程，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常用的不定积分公式，对于解决实际问题具有重要意义。以下是对一些常见函数的不定积分公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $（负号） | $ -\arcsin x + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C $ |
四、有理函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
| $ \frac{1}{(ax + b)^n} $（$ n \neq 1 $） | $ \frac{(ax + b)^{1-n}}{a(1 - n)} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a} \right | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C $ |
五、其他常见积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| $ \frac{1}{x(\ln x)^n} $（$ n \neq 1 $） | $ \frac{(\ln x)^{1 - n}}{1 - n} + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ | $ 2\sqrt{x} + C $ |
总结
以上内容涵盖了常见的不定积分公式，包括多项式、指数函数、三角函数、反三角函数以及部分有理函数的积分表达式。这些公式是学习微积分的基础，熟练掌握有助于提高解题效率与准确性。建议在使用过程中注意积分常数 $ C $ 的添加，以及积分条件（如分母不能为零等）的限制。