【怎样用分部积分法求积分】在微积分中，分部积分法是一种非常重要的积分技巧，尤其适用于被积函数是两个函数乘积的情况。它基于乘积法则的逆运算，类似于微分中的“乘积法则”。通过合理选择被积函数中的两个部分，可以将复杂的积分转化为更简单的形式。
一、分部积分法的基本原理
分部积分法的公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是从原被积函数中选取的一个部分；
- $ dv $ 是另一个部分；
- $ du $ 是对 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是对 $ dv $ 的积分结果。
关键在于如何选择合适的 $ u $ 和 $ dv $，使得新的积分 $ \int v \, du $ 比原来的积分更容易计算。
二、分部积分法的应用步骤
1. 识别被积函数：判断是否适合使用分部积分法（通常为两个函数的乘积）。
2. 选择 $ u $ 和 $ dv $：根据“ILATE”原则选择 $ u $（I: 逆三角函数；L: 对数函数；A: 代数函数；T: 三角函数；E: 指数函数）。
3. 计算 $ du $ 和 $ v $：分别对 $ u $ 求导，对 $ dv $ 积分。
4. 应用公式：代入分部积分公式进行计算。
5. 简化并检查结果：确保最终结果正确，并检查是否需要再次使用分部积分。
三、常见类型与示例对比
| 类型 | 被积函数 | 选择 $ u $ | 选择 $ dv $ | 公式应用 | 示例 |
| 代数 × 指数 | $ x e^x $ | $ x $ | $ e^x dx $ | $ xe^x - \int e^x dx $ | $ \int x e^x dx = x e^x - e^x + C $ |
| 代数 × 三角 | $ x \sin x $ | $ x $ | $ \sin x dx $ | $ -x \cos x + \int \cos x dx $ | $ \int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C $ |
| 对数 × 代数 | $ \ln x $ | $ \ln x $ | $ dx $ | $ x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx $ | $ \int \ln x dx = x \ln x - x + C $ |
| 三角 × 指数 | $ e^x \sin x $ | $ e^x $ | $ \sin x dx $ | 需要多次分部积分 | $ \int e^x \sin x dx = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + C $ |
四、注意事项
- 选择不当可能导致积分变得更复杂，因此需反复尝试不同的 $ u $ 和 $ dv $ 组合。
- 对于某些特殊函数，可能需要结合其他积分方法（如换元法）一起使用。
- 多次分部积分时，要注意符号变化和重复模式，避免出错。
五、总结
分部积分法是处理乘积型积分的重要工具，掌握其基本原理和应用方法，能够有效解决许多复杂的积分问题。通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，并遵循清晰的步骤，可以提高解题效率和准确性。建议多做练习，熟练掌握不同类型的积分问题，以增强实际应用能力。