【单因素方差分析实例】在实际研究中，常常需要比较多个组之间的均值是否存在显著差异。单因素方差分析（One-Way ANOVA）是一种用于检验三个或以上独立组之间均值是否有统计学差异的统计方法。本文通过一个具体实例，展示如何进行单因素方差分析，并对结果进行解读。
实例背景
某教育机构为了评估三种不同的教学方法对学生数学成绩的影响，随机选取了三组学生，每组各有10名学生，分别采用A、B、C三种教学方法进行教学。期末考试后，收集了学生的数学成绩数据，如下表所示：
| 组别 | 学生编号 | 成绩 |
| A | 1 | 78 |
| A | 2 | 82 |
| A | 3 | 75 |
| A | 4 | 80 |
| A | 5 | 85 |
| A | 6 | 79 |
| A | 7 | 83 |
| A | 8 | 81 |
| A | 9 | 84 |
| A | 10 | 80 |
| B | 1 | 68 |
| B | 2 | 72 |
| B | 3 | 65 |
| B | 4 | 70 |
| B | 5 | 74 |
| B | 6 | 69 |
| B | 7 | 71 |
| B | 8 | 67 |
| B | 9 | 73 |
| B | 10 | 70 |
| C | 1 | 90 |
| C | 2 | 88 |
| C | 3 | 92 |
| C | 4 | 87 |
| C | 5 | 91 |
| C | 6 | 89 |
| C | 7 | 93 |
| C | 8 | 90 |
| C | 9 | 88 |
| C | 10 | 91 |
分析步骤
1. 提出假设：
- H₀：三种教学方法对学生数学成绩无显著差异（μ₁ = μ₂ = μ₃）
- H₁：至少有一种教学方法对学生数学成绩有显著影响
2. 计算各组的均值与总均值：
| 组别 | 均值（Mean） | 样本数（n） |
| A | 80.6 | 10 |
| B | 70.9 | 10 |
| C | 89.3 | 10 |
| 总计 | 80.3 | 30 |
3. 计算平方和：
- 组间平方和（SSB）：反映不同组之间的差异
- 组内平方和（SSW）：反映同一组内的个体差异
- 总平方和（SST）：SSB + SSW
经过计算，得到：
- SSB = 1178.4
- SSW = 428.4
- SST = 1606.8
4. 计算自由度与均方：
| 平方和类型 | 自由度（df） | 均方（MS） |
| 组间（SSB） | 2 | 589.2 |
| 组内（SSW） | 27 | 15.87 |
| 总计（SST） | 29 | — |
5. 计算F值：
$$ F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{589.2}{15.87} ≈ 37.12 $$
6. 判断显著性：
查F分布表，α=0.05，自由度为(2,27)，临界值约为3.35。由于F值（37.12）远大于临界值，因此拒绝原假设，说明三种教学方法对学生数学成绩有显著差异。
结论
通过单因素方差分析可知，三种教学方法对学生数学成绩的影响存在显著差异。进一步的多重比较（如Tukey HSD）可帮助确定哪两组之间存在显著差异。
表格总结
| 指标 | 数值 |
| 组别数量 | 3 |
| 每组样本数 | 10 |
| 总样本数 | 30 |
| 组间平方和（SSB） | 1178.4 |
| 组内平方和（SSW） | 428.4 |
| F值 | 37.12 |
| 显著性水平（α） | 0.05 |
| 临界F值 | 3.35 |
| 是否拒绝H₀ | 是 |
通过本次实例分析，我们可以看到单因素方差分析在实验设计中的重要性，它能够帮助我们从数据中提取有价值的结论，从而指导实践决策。