【傅里叶变换公式】傅里叶变换是数学中一种重要的工具，广泛应用于信号处理、图像分析、物理和工程等领域。它能够将一个时域（或空间域）的函数转换为频域表示，从而揭示信号的频率成分。傅里叶变换的核心思想是：任何满足一定条件的函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
以下是傅里叶变换的基本公式及其常见形式的总结：
一、傅里叶变换基本定义
傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的方法。对于连续时间信号 $ f(t) $，其傅里叶变换 $ F(\omega) $ 定义如下：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$
其中：
- $ f(t) $ 是原始函数（通常为实数）
- $ \omega $ 是角频率（单位：弧度/秒）
- $ j $ 是虚数单位（$ j^2 = -1 $）
二、傅里叶逆变换
傅里叶逆变换用于从频域恢复时域信号，公式为：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
三、离散傅里叶变换（DFT）
在数字信号处理中，信号通常是离散的。离散傅里叶变换（DFT）用于对有限长度的序列进行频域分析。设 $ x[n] $ 是长度为 $ N $ 的离散信号，则其 DFT 定义为：
$$
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N}
$$
其中：
- $ k = 0, 1, 2, ..., N-1 $
- $ X[k] $ 是第 $ k $ 个频率分量
四、快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换（FFT）是 DFT 的高效算法，大大减少了计算复杂度。FFT 利用对称性和周期性，将 DFT 的计算复杂度从 $ O(N^2) $ 降低到 $ O(N \log N) $。
五、常用函数的傅里叶变换对照表
| 函数 $ f(t) $ | 傅里叶变换 $ F(\omega) $ |
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ |
| $ e^{-at} u(t) $ (a > 0) | $ \frac{1}{a + j\omega} $ |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}(\omega/2) $ |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}(\omega/2\pi) $ |
六、傅里叶变换的应用
- 信号分析：提取信号中的频率成分
- 图像处理：图像压缩、滤波、边缘检测
- 通信系统：调制与解调、频谱分析
- 音频处理：音调识别、噪声消除
- 物理学：波动方程求解、量子力学
七、总结
傅里叶变换是一种强大的数学工具，通过将信号从时域转换到频域，帮助我们更直观地理解信号的结构和特性。无论是连续信号还是离散信号，傅里叶变换都提供了有效的分析手段。随着计算机技术的发展，快速傅里叶变换（FFT）使得实时处理成为可能，极大地推动了现代科技的发展。