【洛必达法则例题及答案】洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是微积分中用于求解不定型极限的一种重要方法，尤其适用于0/0或∞/∞型的极限问题。该法则在解决某些复杂函数的极限时非常有效，能够简化计算过程。以下是一些典型例题及其解答，帮助读者更好地理解和应用洛必达法则。
一、洛必达法则简介
当函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某点附近可导，且满足以下条件：
- $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = 0$
- 或者 $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$
则有：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
前提是右边的极限存在或为无穷大。
二、例题与答案总结
以下是几个典型的洛必达法则应用例题及其解答，以表格形式呈现：
| 题号 | 题目 | 解答步骤 | 最终结果 |
| 1 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 由于 $ \sin 0 = 0 $，$ x = 0 $，属于 0/0 型，使用洛必达法则：$\frac{\cos x}{1}$，代入 $ x = 0 $ 得 1 | 1 |
| 2 | 求 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{2x^2 - 5}$ | 属于 ∞/∞ 型，对分子分母分别求导：$\frac{2x + 3}{4x}$，再求极限得 $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 3 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | 0/0 型，使用洛必达法则：$\frac{e^x}{1}$，代入 $ x = 0 $ 得 1 | 1 |
| 4 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$ | 0/0 型，对分子分母求导：$\frac{1/(1+x)}{1}$，代入 $ x = 0 $ 得 1 | 1 |
| 5 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | 0/0 型，第一次洛必达后为 $\frac{\sin x}{2x}$，仍为 0/0，再次使用洛必达：$\frac{\cos x}{2}$，代入 $ x = 0 $ 得 $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 6 | 求 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ | ∞/∞ 型，使用洛必达法则：$\frac{1/x}{1} = \frac{1}{x}$，极限为 0 | 0 |
| 7 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$ | 0/0 型，第一次洛必达：$\frac{\sec^2 x - 1}{3x^2}$，继续化简：$\frac{\tan^2 x}{3x^2}$，再使用洛必达一次，最终得 $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
三、注意事项
- 使用洛必达法则前，必须确认极限是否为 0/0 或 ∞/∞ 型；
- 如果使用一次后仍为不定型，可以继续使用；
- 若极限不存在或为无穷大，则不能使用洛必达法则；
- 有时可以通过代数变形或其他方法更快地求出极限，避免多次使用洛必达。
四、总结
洛必达法则是处理不定型极限的重要工具，尤其在遇到0/0或∞/∞类型时非常有效。通过合理使用该法则，并结合实际题目进行练习，可以提高解题效率和准确性。建议在学习过程中多做相关练习题，逐步掌握其应用场景和技巧。