【三角函数通用公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的通用公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
- sinθ = 对边 / 斜边 = a/c
- cosθ = 邻边 / 斜边 = b/c
- tanθ = 对边 / 邻边 = a/b
- cotθ = 邻边 / 对边 = b/a
- secθ = 斜边 / 邻边 = c/b
- cscθ = 斜边 / 对边 = c/a
二、常用三角恒等式
以下是一些常用的三角恒等式，适用于任意角度θ（弧度或角度）：
| 公式 | 表达式 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 平方恒等式 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度转换）
用于将任意角转化为0°~360°之间的角，便于计算：
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta $ | $ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta $ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值：
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
用于计算角的两倍或三倍的三角函数值：
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
用于计算角的一半的三角函数值：
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ |
七、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式转化为和差形式，或反之：
| 公式 | 表达式 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ | |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ | |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | |
| $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
结语
三角函数的通用公式是数学学习中的基础内容，掌握这些公式有助于更深入地理解三角函数的性质及其应用。通过表格形式的整理，可以更清晰地看到各个公式的逻辑关系和使用场景，提升学习效率。建议结合实际题目练习，加深对公式的理解和运用能力。