【两向量外积怎么计算】在向量运算中，外积（也称为叉积）是一种重要的运算方式，常用于三维空间中的物理和数学问题中。外积的结果是一个向量，其方向由右手定则决定，大小则与两个向量的模长及其夹角有关。
以下是对两向量外积的基本概念、计算方法以及相关性质的总结。
一、基本概念
| 概念 | 内容 | ||||||
| 外积定义 | 设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的外积为 a × b，结果是一个向量。 | ||||||
| 外积结果 | a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁) | ||||||
| 方向 | 由右手定则确定，垂直于 a 和 b 所在的平面。 | ||||||
| 大小 | a × b | = | a | b | sinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角。 |
二、外积的计算方法
1. 公式法
直接使用向量的分量进行计算：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
2. 分量计算法
将上述公式拆解为三个分量：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
三、外积的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | a × b = - (b × a) |
| 分配律 | a × (b + c) = a × b + a × c |
| 零向量 | 若 a 与 b 共线，则 a × b = 0 |
| 正交性 | a × b 垂直于 a 和 b |
四、示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，求 a × b。
根据公式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5,\ 3×4 - 1×6,\ 1×5 - 2×4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
五、总结
外积是向量运算中的一种重要工具，尤其在物理和工程中广泛应用，如力矩、磁场等。掌握其计算方法和性质，有助于更深入地理解三维空间中的向量关系。
通过上述表格和步骤，可以系统地理解和应用两向量外积的计算方法。