【初等变换矩阵的逆矩阵是什么】在矩阵运算中，初等变换是线性代数中的基本操作之一，常用于求解线性方程组、计算行列式以及求矩阵的逆。初等变换包括三种类型：交换两行（列）、将某一行（列）乘以一个非零常数、将某一行（列）加上另一行（列）的倍数。每种初等变换都可以用一个对应的初等矩阵来表示，而这些初等矩阵的逆矩阵也具有明确的结构。
本文将总结三种初等变换矩阵及其对应的逆矩阵，并通过表格形式进行对比说明，便于理解和应用。
一、初等变换与对应矩阵
1. 交换两行（或两列）的初等矩阵
设 $ E_1 $ 是交换第 $ i $ 行和第 $ j $ 行的初等矩阵，则其逆矩阵为它本身，即：
$$
E_1^{-1} = E_1
$$
因为交换两次就回到原状态。
2. 将某一行乘以非零常数 $ k $ 的初等矩阵
设 $ E_2 $ 是将第 $ i $ 行乘以 $ k $ 的初等矩阵，则其逆矩阵为将第 $ i $ 行乘以 $ \frac{1}{k} $ 的初等矩阵，即：
$$
E_2^{-1} = E_2\left(\frac{1}{k}\right)
$$
3. 将某一行加上另一行的倍数的初等矩阵
设 $ E_3 $ 是将第 $ j $ 行加上第 $ i $ 行的 $ k $ 倍的初等矩阵，则其逆矩阵为将第 $ j $ 行减去第 $ i $ 行的 $ k $ 倍的初等矩阵，即：
$$
E_3^{-1} = E_3(-k)
$$
二、总结表格
| 初等变换类型 | 初等矩阵 $ E $ | 逆矩阵 $ E^{-1} $ | 说明 |
| 交换两行（或两列） | $ E_1 $ | $ E_1 $ | 自逆矩阵，交换两次还原 |
| 某一行乘以非零常数 $ k $ | $ E_2(k) $ | $ E_2\left(\frac{1}{k}\right) $ | 乘以倒数即可还原 |
| 某一行加上另一行的 $ k $ 倍 | $ E_3(k) $ | $ E_3(-k) $ | 减去相同倍数即可还原 |
三、结语
初等变换矩阵的逆矩阵是理解矩阵运算和线性代数基础的重要工具。掌握这三种类型的初等矩阵及其逆矩阵，有助于更高效地进行矩阵求逆、行列式计算及线性系统求解。通过上述表格可以快速查阅每种变换对应的逆矩阵形式，提升学习和应用效率。