特征向量的求法举例

特征向量是线性代数中的一个重要概念，尤其在矩阵理论和应用中有着广泛的应用，例如在数据分析、机器学习等领域。下面通过一个具体的例子来说明如何求解矩阵的特征向量。

例子：求矩阵的特征值和特征向量

假设我们有一个2x2的矩阵A：

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]

步骤1：求特征值

首先，我们需要找到矩阵A的特征值。特征值λ满足以下方程：

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

其中I是单位矩阵。对于上述矩阵A，我们有：

\[ \det\left(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 0 \]

即：

\[ \det\left(\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}\right) = (3-\lambda)(4-\lambda) - 21 = 0 \]

展开得到：

\[ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \]

解这个二次方程，我们得到两个特征值：

\[ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 5 \]

步骤2：求特征向量

接下来，对于每个特征值，我们求对应的特征向量。特征向量v满足：

\[ (A - \lambda I)v = 0 \]

对于特征值λ1=2：

\[ \begin{pmatrix} 3-2 & 2 \\ 1 & 4-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

从上式可以得出：

\[ x + 2y = 0 \]

令\(y = t\)（t为任意非零实数），则\(x = -2t\)。因此，对应特征值2的特征向量可以表示为：

\[ v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

对于特征值λ2=5：

\[ \begin{pmatrix} 3-5 & 2 \\ 1 & 4-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

从上式可以得出：

\[ -2x + 2y = 0 \]

令\(x = t\)（t为任意非零实数），则\(y = t\)。因此，对应特征值5的特征向量可以表示为：

\[ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

综上所述，矩阵A的特征值分别为2和5，对应的特征向量分别是\(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)和\(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)。

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